Efficient optimization of the Held–Karp lower bound by Righini, Giovanni

“…Given a weighted undirected graph $G=(V,E)$, the Held–Karp lower bound for the Traveling Salesman Problem (TSP) is obtained by selecting an arbitrary vertex $\bar{p} \in V$, by computing a minimum cost tree spanning $V \backslash \lbrace \bar{p}\rbrace $ and adding two minimum cost edges adjacent to $\bar{p}$. …”
Get full text

Estimates for the green function and existence of positive solutions for higher-order elliptic equations

“…Next, we aim at proving the existence of positive continuous solutions for the following polyharmonic nonlinear problems <mml:math alttext="$(-Delta )^{pm}u=h(cdot,u)$"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>&#8722;</mml:mo> <mml:mi>&#8710;</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>&#8231;</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>, in <mml:math alttext="$D$"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> (in the sense of distributions), <mml:math alttext="$lim_{|x| ightarrow 1} ((-Delta)^{km}u(x)/(1-|x|)^{m-1})=0$"> <mml:msub> <mml:mtext>lim</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&#8594;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>&#8722;</mml:mo> <mml:mi>&#8710;</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&#8722;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>&#8722;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>, for <mml:math alttext=" $0leq kleq p-1$"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&#8804;</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>&#8804;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&#8722;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math>, where <mml:math alttext="$D=B$"> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:math> or <mml:math alttext="$Backslash {0}$"> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math alttext="$h$"> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:math> is a Borel measurable function on <mml:math alttext="$Dimes (0,infty )$"> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>&#8734;</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> satisfying some appropriate conditions related to <mml:math alttext="$mathcal{J}_{m,n}^{(p)}$"> <mml:msubsup> <mml:mi>&#119973;</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math>.…”
Get full text