НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ
Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальн...
Saved in:
| Main Authors: | , |
|---|---|
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Sumy State Pedagogical University named after A.S. Makarenko
2023-05-01
|
| Series: | Фізико-математична освіта |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://fmo-journal.org/index.php/fmo/article/view/231 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Summary: | Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад.
Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші-Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності.
Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші.
Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші-Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах. |
|---|---|
| ISSN: | 2413-1571 2413-158X |